突变理论的理论研究

1. 突变理论的理论研究

突变理论研究的是从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态，都有稳定态和非稳定态之分。在微小的偶然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态，稳定态与非稳定态相互交错。非线性系统从某一个稳定态（平衡态）到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的。突变理论作为研究系统序演化的有力数学工具，能较好地解说和预测自然界和社会上的突然现象，在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。突变理论是用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的过程， 这一理论与混沌理论（Chaos Theory）相关， 尽管它们是两个完全独立的理论，但现在突变理论被普遍视作为混沌理论的一部分。尽管突变理论是一门数学理论， 它的核心思想却有助于人们理解系统变化和系统中断。如果系统处于休止状态（也就是说，没有发生变化），它就会趋于获得一种理想的稳定状态，或者说至少处在某种定义的状态范围内。如果系统受到外界变化力量作用，系统起初将试图通过反作用来吸收外界压力。如果可能的话，系统随之将恢复原先的理想状态。如果变化力量过于强大，而不可能被完全吸收的话，突变（Catastrophic Change）就会发生，系统随之进入另一种新的稳定状态，或另一种状态范围。在这一过程中，系统不可能通过连续性的方式回到原来的稳定状态。试举一例，更为形象地解释这一理论。让人们假想有一只玻璃瓶放在桌面上， 它处在一个稳定的状态，没有任何变化，此为稳定平衡（Stable Equilibrium）。现在假想用你的手指轻推瓶颈，不要太用力。这时变化产生，玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸收变化， 此为不稳定平衡（Unstable Equilibrium）。如果你停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。然而，如果你继续用力推下去，在你的推力达到一定程度的时候，玻璃瓶便会倒下， 由此又进入了一种新的稳定平衡状态。玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变， 一个非连续性的变化就这样产生了：在玻璃瓶下跌的过程中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止。Thorn的突变理论意味着，系统变化是通过连续性的和非连续性的两种变化模式来实现的。这一过程与混沌理论相关之处在于，玻璃瓶只存在两种状态——要么站立，要么躺倒。这两种状态也就是可能的结果池（Outcome Basins），参见：混沌理论。然而，还有一些状态永远不可能被达到，因为它们具有内在的不稳定性。

2. 突变理论简介

1958年国际菲尔兹（Fields）数学奖获得者、法国巴黎高级科学院数学教授雷内托姆（Rene.Thom，1923～2002）博士，在总结和继承前人研究的基础上，1968年发表了有关突变理论的论文《生物学中的拓扑模型》，于1972 年又出版了突变理论的第一本专著《稳定性结构与形态发生学》。该书用拓扑学、奇点和稳定性的数学理论来研究自然界和社会现象中的各种形态、结构的非连续性突变，系统地阐述了突变的理论，从而奠定了突变理论的基础，这标志着突变理论的正式诞生。以后十多年，经过英国数学家、英国瓦维克（Warwick）大学数学研究所所长、皇家学会会员齐曼（E.C.Zeeman）教授等人从理论到实际应用方面的大力改进和完善，使突变理论从理论到实际应用方面的研究有了全面的进展。突变理论成为数学中最年轻的分支之一，引起了国际数学家、哲学家、生物学家和社会科学家的广泛关注。
事物从状态的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式的不连续变化，包含着突然变化的瞬间过程，称为突变（Catastrophe）。突变理论以不连续现象为研究对象，运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究某种系统（过程）从一种稳定状态到另一种稳定状态的跃迁。突变理论用一组参数描述系统所处的状态，当系统处于稳定状态时，表明该系统状态的某个函数取一定的值（如能量取极小或熵取极大等）。当参数在某个范围内变化，函数值有不止一个极值时，系统必然处于不稳定状态，若参数略作变化，就能使处于不稳定状态的系统进入另一稳定状态，就是在这一刹那状态发生了突变。
参数空间的一个点可以对应系统多重定态解（有渐进稳定的，也有不稳定的）。只有多重定态解存在，系统才有可能在渐进稳定的定态解之间跃迁，才会出现突变，而多重定态解的存在来自非线性，所以突变只有在具有非线性的复杂系统中才会发生。
突变现象把系统的状态空间变成不可微分的，因此对突变现象的描述和解释，传统的微积分方法无能为力。突变理论是突变现象的数学模型，是关于奇点的理论，它的一个重要特点是研究自然界和社会领域内的不连续变化的突变现象，说明现实事物，并对事物未来的突变进行预测，控制突变的发生。
突变理论除研究系统动态稳定性问题外，还研究系统的结构稳定性问题，并指出系统稳定要同时满足动力系统稳定和结构稳定性，因此，可以通过改变系统结构来控制系统的稳定性。
（1）突变理论与突变
每一自然过程都有其稳定态与非稳定态之分。稳定态的特征是在各种微小涨落的作用下，仍能保持原来的状态。一旦受到小的扰动即迅速改变原来的状态，则属于非稳定态。从非稳定态向稳定态变化，是自然过程的运动趋势；而由稳定态向非稳定态变化则需要外界做功。
突变理论中所指的稳定态与非稳定态是相对一定的控制条件而言的。在外部力的控制下，系统的稳定态与非稳定态之间是可以自由转换的。若系统的初始状态为稳定态，在连续控制力或构造力的作用下，系统的状态也发生一定的转变。当控制因素达到一定的极限（临界值）时，系统的状态也达到了稳定与非稳定的临界状态。这时，尽管不再变动控制因素，系统的状态仍会迅速地远离临界面，跳跃或快速地变化到另一新的稳定态，这即为突变。突变并不是发生在控制因素达到临界值时，而是发生在临界值之后的某一等待时间段内。突变的类型可包括跳跃式非连续变化和渐进式连续变化，两者的差别表现在前者发生的过程非常快速，以至于难以发现突变的过程，而后者有一短暂的持续时间。
（2）突变理论的发展及突变特征的描述
突变理论是研究不连续现象的一个新兴数学分支，它是在系统结构稳定性理论、拓扑学和奇点理论等基础上发展起来的。用微分方程模型来描述自然现象，在许多学科领域中固然取得了巨大的成功，但微分方程只适宜描述连续变化现象，不适宜描述不连续现象，即突变现象。突变理论用拓扑面在三维空间中的位置作为突变过程的模型。
自然界中许多有趣的现象都涉及不连续性。这种不连续性可以体现在时间上，如波的破碎、细胞的分裂或者桥梁的倒塌；也可以体现在空间上，如物体的边界或两种生物组织之间的界面。然而应用数学家可利用的绝大多数技巧是设计应用于对连续性作定量研究的。这些方法主要以微积分学为基础，不过自从牛顿和莱布尼茨时代以来已有了很大的精炼和扩展，从而使人们对自然界的认识能够获得极大的进步。
我们知道凡是被认为属于复杂性的事物，都具有突变的特征。突变在这里有两方面的含义：其一是指，复杂性事物整体或某一层次整体上的涌现属性；其二是指，复杂性事物内部，或某个层次内部各个可分解部分的突发性变化。只要我们研究对象的属性涉及不同物质层次之间的共同变化，突变特征即刻就显露出来。新产生出来的那些属性，无论是从系统的较高层次，还是较低层次角度去考察，其结果都表现为突变。
突然出现的性状似乎没有任何准备阶段，难得找出某一些变化是与其当时当地生活环境直接联系在一起的。而突变理论所研究的正是这一现象所体现出来的问题。突变以十分显著的两大特点——完全由内部因素推动及变化的跳跃性，表明了唯有突变才是真正的质变。研究突变理论可以发现，在达到临界点之后无论控制因素变与不变，都不能对突变过程发生影响，突变过程都只由内因决定。
（3）突变理论的两个假定
突变理论解释突变现象以下面的两个假定为前提：
1）假定系统在任何时刻的状态都可以完全由给定的n个变量（x1，x2，…，xn）的值来确定。n是有限的，但可以很大。（x1，x2，…，xn）称为系统的状态变量或内部变量。同时，假定系统受m个独立变量（u1，u2，…，um）的控制，即这些变量的值决定了xi（i＝1，2，…，n）的值。（ul，u2，…，um）称为系统的控制变量或外部变量。
2）假定系统的动力学模型可由一个光滑的势导出。光滑的势通过稳定常状态的消失而造成动力学的不连续形态。
基于上述假定，突变理论认为：可能出现的性质不同、不连续构造的数目并不取决于状态变量的数目（可能很大），而取决于控制变量的数目（一般很小）。特别是如果控制变量的数目不大于4，那么只有7种不同类型的突变，而且其中没有一种牵涉两个以上的状态变量。
（4）奇点理论、平衡曲面和分支点集
马克思曾说过：“任何一门科学只有在充分地运用数学的时候才算达到了真正完善的地步”。突变理论的数学基础是相当宽厚的，有些内容还很坚深，涉及现代数学中的群论、流形、映射的奇点理论，特别是拓扑学方法。下面我们简要介绍一些突变理论的数学基础。
英国数学家桑德斯（P.T.Saunders）指出：“作为数学的一部分，突变理论是关于奇点的理论”。什么是奇点？所谓奇点是相对于正则点而言的，一般说来，正则点是大量的，而奇点则是个别的。正因为奇点奇特个别，它才在数学中占有突出的地位。
突变理论的主要之点在于考察某种系统或过程从一种稳定态到另一种稳定态的跃迁，什么叫稳定态？所谓稳定，是指系统或过程某一状态的持续出现，外界干扰可能使系统偏离某一状态，产生不稳定，而干扰消除时又恢复原态，继续出现稳定。因此，稳定性不仅指事物不变，而且还指事物有一定的抗干扰能力，或者说当干扰使事物偏离稳定态时，事物能依靠某种作用回到稳定态，不倒翁的直立状态就是一个稳定态，不论干扰从哪个方向使它发生偏离，它都能回到直立状态。
我们知道，一个系统所处的状态可以用一组参数来描述，当系统处于稳定态时，标志该系统状态的某个函数取唯一的极值（如能量取极小，熵取极大等等），当参数在某个范围内变化，该函数有不止一个极值时，那么该系统必定处于不稳定状态，所以，从数学的角度考察一个系统是否稳定，常常要求某函数的极值。而求极值必先求函数的导数为零的点。使导数值为零的点就是最简单的奇点，或称为临界点。如果设函数为Fuv（x），其中u，v为参数，那么，求函数Fuv（x）的临界点就是求微分方程的解，当给定u，v的值时，  就可得到一个或几个临界点x，因此，临界点x可以看作是参数u，v的单值或多值函数，把这个函数记为x＝l（u，v），显然，这样的函数，在几何上可以确定一个三维欧氏空间，即（x，u，v）中的一个曲面，也就是临界点的集合，称此曲面为临界曲面，使函数取极值的点叫稳定点，临界点不一定是稳定点，所以临界点可能使系统稳定或不稳定。
若系统的状态可用m个参数，n个变量，x1，x2，…，xn的函数  （x1，x2，…，xn）来刻画，则问题要复杂得多。因为变量不止一个，求多元函数的极值要用偏导数，不能只解一个方程  ，而要解一个偏微分方程组，即临界点是满足偏微分方程组

耗散结构、自组织、突变理论与地球科学

或简写为  和Δ≡det｛H（v）｝的点，其中  ，仅就x而言，det代表行列式（determinant），H（v）是v的海赛（Hessen）矩阵，所谓海赛矩阵就是以下的二阶偏导数矩阵：

耗散结构、自组织、突变理论与地球科学

不过这时临界点所构成的临界曲面是n＋m维空间中的高维曲面，图形画不出来，光凭直观简直无法想像。然而托姆对高维曲面的拓扑性质有精辟的见解，因此这一困难被托姆解决了，找出了它们的标准式，这就是著名的托姆分类定理。
在突变理论中，我们把可能出现突变的那些量称为状态变量或内部变量，而把引起突变的原因、连续变化的因素称为控制变量或外部变量。如在水由液体转化为气体的相变模型（称为气-液相变模型）中，温度T和压强P是引起水突变原因的连续变量，故为控制变量，水的密度则为水的沸腾过程的状态变量，密度高的状态对应着液态，密度低的状态代表着气态。
假定系统在任何时刻的状态都可以完全由给定n个状态变量（x1，x2，…，xn）的值来确定，这里n是有限的，但可以很大；同时还假定系统受m个独立变量（ul，u2，…，um）的控制，即这些变量的值决定了xi的值，但并不完全唯一，我们假定m比较小，通常不大于5。
设系统的动力学可由一个光滑的势函数导出，又设给出势函数V，用方程  定义其平衡曲面M，其中下标x表示梯度仅就变量x而言。这个曲面M由V的全部临界点构成，即由系统的全部平衡点（稳定的或其他的）构成，可以通过数学方法证明M是一个流形，即是一个性态很好的光滑曲面。定义奇点集S是由V的全部退化临界点组成的M的一个子集。这些就是满足  和Δ≡det｛H（v）｝＝0的点。S在控制空间C中的投影称为分支点集。求分支点集的方法，可通过由S的定义方程消去全部状态变量的方法而得到，分支点集是C中所有使V的形式发生变化的点的集合。

3. 突变理论及其应用是什么

 突变理论及其应用是什么
                    　　突变理论及其应用是什么？突变理论研究的是从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态，下面一起看看突变理论及其应用是什么吧。
  　　突变理论及其应用是什么1  　　 什么是突变理论 
  　　突变论的诞生，系统内部状态的整体性“突跃”称为突变，其特点是过程连续而结果不连续。突变理论可以被用来认识和预测复杂的系统行为。
  　　 “突变” 
  　　“突变”一词，法文原意是“灾变”，强调变化过程的间断或突然转换的意思。在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突然变化和跃迁现象，如岩石的破裂、桥梁的崩塌、地震、海啸、细胞的分裂、生物的变异、人的休克、情绪的波动、战争、市场变化、企业倒闭、经济危机等。
  　　 初等突变 
  　　七种初等突变：折迭型突变（FoldCatastrophe）、尖点型突变（CuspCatastrophe）、燕尾型突变（SwallowtailCatastrophe）、蝴蝶型突变（ButterflyCatastrophe）、双曲型脐点（HyperbolicUmbilic）、椭圆型脐点（EllipticUmbilic）和抛物型脐点（ParabolicUmbilic）。突变理论的次级应用研究包括：歧变理论（BifurcationTheory）、非平衡热力学（NonequilibriumThermodynamics）、奇点理论（SingularityTheory）、协同论（Synergetics）及拓扑热力学（TopologicalDynamics）等。
    
  　　 理论起源 
  　　现在被视为混沌理论（ChaosTheory）一部分的突变理论，起源于20世纪60年代末。1972年，法国数学家发表著作对这一理论进行了独立且系统的阐述。他的这部著作名为：《结构稳定性和形态发生学》（StructuralStabilityandMorphogenesis），Thom希望能够籍此预测复杂无序的系统变化行为。
  　　许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。例如，水突然沸腾，冰突然融化，火山爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡。
  　　这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性现象的数学理论。1972年法国数学家勒内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。
  　　 基本内容 
  　　突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。
  　　突变理论提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。
  　　例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力（水平方向），一个是钢丝的压力（垂直方向），可用尖顶突变来描述。尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。
  　　英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。
  　　 理论步骤 
  　　突变理论广泛应用于变革管理和组织发展领域。有一种变化形式是平滑的、持续的和递增的。业务流程改进的一系列创意多遵循这一变化模式，例如改善（Kaizen）、全面质量管理（TotalQualityManagement）及六西格玛（SixSigma）。用突变理论术语来说，就是一种基于现有稳定界面的的预设变化。
  　　还有一种变化形式则是灾难性的、突发的、激进的.，彻底背离变化前的状态。这种变化结果往往是业务流程重组（BusinessProcessReengineering）这类剧烈的变革行为造成的。这种类型的变化是“非连续的”，用突变理论术语来说，它是全新定义另一个稳定状态的突变。
  　　因此，“真正的”的变化更类似于企业流程重组这样的剧烈变革，此外，当然也还有简单的变革，采用什么样的变革取决于具体问题的需要。变革专家所面对的挑战正在于此，他们必须能够决定何时需要激进变革，而何时又该执行渐进变革。做出正确选择并不容易，因为激进变革必然导致组织经历一段时期的“混乱无序”，在此之后，新的稳定状态才能被发现和定义下来。这就得用到变革管理中的融冻法（Unfreezing/FreezingMethod）。有些情况下，组织会被强加以激进变革。而且，现实中可能根本就不存在那么一条“从哪里来，到哪里去”的清晰路径，引领组织持续渐进变革。在这种情况下，假设的变革路线也就毫无意义。
  　　 理论优势 
  　　1、突变理论有助于认识变革管理的真实面貌、理解混沌理论的思想观点。它揭示了为什么真正的变革是一项危险活动。
  　　2、突变理论打断了“组织能够基于多样化的价值频谱表现出各种形态”的念头，大概只存在几个有限的真正意义上的稳定组织形态。
  　　3、突变理论同样揭示了为什么变革不可以被“管理”，而只能被“影响”。
  　　4、理论应付“形式”形式的思想（Gestalt格式塔理论）和变动。它开创了认识组织的新视角。
  　　 局限性 
  　　1、从认识组织行为的角度来看，托姆的研究工作的意义目前更多地体现在定性分析上，而非定量分析。
  　　2、即便是预测最简单的系统行为，仍然具有挑战性。
  　　3、考虑到研究的时间限，所以一切都不是“突变”，只是多种因素的积累效应在某一刻凸显时被研究者所捕捉。
  　　4、托姆的研究工作未能涉及具有多个（5个以上）重要变量的复杂系统，也许根本就不可能对复杂系统（或组织）行为进行预测。
  　　突变理论及其应用是什么2  　　 突变理论研究 
  　　突变理论研究的是从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态，都有稳定态和非稳定态之分。在微小的偶然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态，稳定态与非稳定态相互交错。非线性系统从某一个稳定态（平衡态）到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的。突变理论作为研究系统序演化的有力数学工具，能较好地解说和预测自然界和社会上的突然现象，在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。
  　　突变理论是用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的过程， 这一理论与混沌理论（Chaos Theory）相关， 尽管它们是两个完全独立的理论，但现在突变理论被普遍视作为混沌理论的一部分。
    
  　　尽管突变理论是一门数学理论， 它的核心思想却有助于人们理解系统变化和系统中断。如果系统处于休止状态（也就是说，没有发生变化），它就会趋于获得一种理想的稳定状态，或者说至少处在某种定义的状态范围内。如果系统受到外界变化力量作用，系统起初将试图通过反作用来吸收外界压力。如果可能的话，系统随之将恢复原先的理想状态。如果变化力量过于强大，而不可能被完全吸收的话，突变（Catastrophic Change）就会发生，系统随之进入另一种新的稳定状态，或另一种状态范围。在这一过程中，系统不可能通过连续性的方式回到原来的稳定状态。
  　　试举一例，更为形象地解释这一理论。让人们假想有一只玻璃瓶放在桌面上， 它处在一个稳定的状态，没有任何变化，此为稳定平衡（Stable Equilibrium）。现在假想用你的手指轻推瓶颈，不要太用力。这时变化产生，玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸收变化， 此为不稳定平衡（Unstable Equilibrium）。如果你停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。然而，如果你继续用力推下去，在你的推力达到一定程度的时候，玻璃瓶便会倒下， 由此又进入了一种新的稳定平衡状态。玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变， 一个非连续性的变化就这样产生了：在玻璃瓶下跌的过程中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止。
  　　Thorn的突变理论意味着，系统变化是通过连续性的和非连续性的两种变化模式来实现的。这一过程与混沌理论相关之处在于，玻璃瓶只存在两种状态——要么站立，要么躺倒。这两种状态也就是可能的结果池（Outcome Basins），参见：混沌理论。然而，还有一些状态永远不可能被达到，因为它们具有内在的不稳定性。

4. 突变理论的介绍

突变论的诞生，以法国数学家勒内·托姆（René Thom，1923年9月2日－2002年10月25日）于1972年发表的《结构稳定性和形态发生学》一书的问世作为标志。托姆将系统内部状态的整体性“突跃”称为突变，其特点是过程连续而结果不连续。突变理论可以被用来认识和预测复杂的系统行为。

5. 突变理论的理论优势

1．突变理论有助于认识变革管理的真实面貌、理解混沌理论的思想观点。它揭示了为什么真正的变革是一项危险活动。2．突变理论打断了“组织能够基于多样化的价值频谱表现出各种形态”的念头， 大概只存在几个有限的真正意义上的稳定组织形态。3．突变理论同样揭示了为什么变革不可以被“管理”，而只能被“影响”。4．理论应付“形式”形式的思想(Gestalt格式塔理论)和变动。它开创了认识组织的新视角。

6. 突变理论的理论步骤

突变理论广泛应用于变革管理和组织发展领域。有一种变化形式是平滑的、持续的和递增的。业务流程改进的一系列创意多遵循这一变化模式，例如改善(Kaizen)、全面质量管理(Total Quality Management)及六西格玛（Six Sigma）。用突变理论术语来说，就是一种基于现有稳定界面的的预设变化。还有一种变化形式则是灾难性的、突发的、激进的，彻底背离变化前的状态。这种变化结果往往是业务流程重组(Business Process Reengineering)这类剧烈的变革行为造成的。这种类型的变化是“非连续的”，用突变理论术语来说，它是全新定义另一个稳定状态的突变。因此，“真正的”的变化更类似于企业流程重组这样的剧烈变革， 此外，当然也还有简单的变革， 采用什么样的变革取决于具体问题的需要。变革专家所面对的挑战正在于此，他们必须能够决定何时需要激进变革，而何时又该执行渐进变革。做出正确选择并不容易，因为激进变革必然导致组织经历一段时期的“混乱无序”，在此之后，新的稳定状态才能被发现和定义下来。这就得用到变革管理中的融冻法（Unfreezing/Freezing Method）。有些情况下，组织会被强加以激进变革。而且，现实中可能根本就不存在那么一条“从哪里来，到哪里去”的清晰路径，引领组织持续渐进变革。在这种情况下，假设的变革路线也就毫无意义。

7. 突变理论学的简介

突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。

8. 突变理论学的产生

许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。例如，水突然沸腾，冰突然融化，火山爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性现象的数学理论。1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。